函数知识点总结

时间：2024-06-09 16:30:25

函数知识点总结[合集]

　　总结是对某一阶段的工作、学习或思想中的经验或情况进行分析研究的书面材料，它能够给人努力工作的动力，因此十分有必须要写一份总结哦。那么我们该怎么去写总结呢？以下是小编为大家收集的函数知识点总结，仅供参考，欢迎大家阅读。

函数知识点总结1

　　一、函数对称性：

　　1.2.3.4.5.6.7.8.

　　f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称

　　f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称

　　f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称

　　例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。

　　【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

　　证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）]

　　∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.

　　例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。

　　证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b]

　　∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.

　　二、函数的周期性

　　令a,b均不为零，若：

　　1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|

　　2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|

　　3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|

　　4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|

　　5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|

　　这里只对第2~5点进行解析。

　　第2点解析：

　　令X=x+a，f[a+（xa）]=f[b+（xa）]∴f（x）=f（x+ba）==>T=ba

　　第3点解析：同理，f（x+a）=-f（x+2a）……

　　①f（x）=-f（x+a）……

　　②∴由①和②解得f（x）=f（x+2a）∴函数最小正周期T=|2a|

　　第4点解析：

　　f（x+2a）=1/f（x+a）==>f（x+a）=1/f（x+2a）

　　又∵f（x+a）=1/f（x）∴f（x）=f（x+2a）

　　∴函数最小正周期T=|2a|

　　第5点解析：

　　∵f（x+a）={2[1f（x）]}/[1f（x）]=2/[1f（x）]1

　　∴1f（x）=2/[f（x）+1]移项得f（x）=12/[f（x+a）+1]

　　那么f（x-a）=12/[f（x）+1]，等式右边通分得f（x-a）=[f（x）1]/[1+f（x）]∴1/[f（x-a）=[1+f（x）]/[f（x）1]，即-1/[f（x-a）=[1+f（x）]/[1-f（x）]∴-1/[f（x-a）=f（x+a），-1/[f（x2a）=f（x）==>-1/f（x）=f（x-2a）①，又∵-1/f（x）=f（x+2a）②，

　　由①②得f（x+2a）=f（x-2a）==>f（x）=f（x+4a）

　　∴函数最小正周期T=|4a|

　　扩展阅读：函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结

　　函数对称性、周期性和奇偶性规律总结

　　（一）同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性）

　　1、奇偶性：

　　（1）奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式f（x）f（x）0

　　（2）偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式f（x）f（x）

　　2、奇偶性的拓展：同一函数的对称性

　　（1）函数的轴对称：

　　函数yf（x）关于xa对称f（ax）f（ax）

　　f（ax）f（ax）也可以写成f（x）f（2ax）或f（x）f（2ax）

　　若写成：f（ax）f（bx），则函数yf（x）关于直线x称

　　（ax）（bx）ab对22证明：设点（x1,y1）在yf（x）上，通过f（x）f（2ax）可知，y1f（x1）f（2ax1），

　　即点（2ax1,y1）也在yf（x）上，而点（x1,y1）与点（2ax1,y1）关于x=a对称。得证。

　　说明：关于xa对称要求横坐标之和为2a，纵坐标相等。

　　∵（ax1,y1）与（ax1,y1）关于xa对称，∴函数yf（x）关于xa对称

　　f（ax）f（ax）

　　∵（x1,y1）与（2ax1,y1）关于xa对称，∴函数yf（x）关于xa对称

　　f（x）f（2ax）

　　∵（x1,y1）与（2ax1,y1）关于xa对称，∴函数yf（x）关于xa对称

　　f（x）f（2ax）

　　（2）函数的`点对称：

　　函数yf（x）关于点（a,b）对称f（ax）f（ax）2b

　　上述关系也可以写成f（2ax）f（x）2b或f（2ax）f（x）2b

　　若写成：f（ax）f（bx）c，函数yf（x）关于点（abc,）对称2证明：设点（x1,y1）在yf（x）上，即y1f（x1），通过f（2ax）f（x）2b可知，f（2ax1）f（x1）2b，所以f（2ax1）2bf（x1）2by1，所以点（2ax1,2by1）也在yf（x）上，而点（2ax1,2by1）与（x1,y1）关于（a,b）对称。得证。

　　说明：关于点（a,b）对称要求横坐标之和为2a,纵坐标之和为2b,如（ax）与（ax）之和为2a。

　　（3）函数yf（x）关于点yb对称：假设函数关于yb对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于yb对称。但在曲线c（x,y）=0，则有可能会出现关于yb对称，比如圆c（x,y）x2y240它会关于y=0对称。

　　（4）复合函数的奇偶性的性质定理：

　　性质1、复数函数y＝f[g（x）]为偶函数，则f[g（－x）]＝f[g（x）]。复合函数y＝f[g（x）]为奇函数，则f[g（－x）]＝－f[g（x）]。

　　性质2、复合函数y＝f（x＋a）为偶函数，则f（x＋a）＝f（－x＋a）；复合函数y＝f（x＋a）为奇函数，则f（－x＋a）＝－f（a＋x）。

　　性质3、复合函数y＝f（x＋a）为偶函数，则y＝f（x）关于直线x＝a轴对称。复合函数y＝f（x＋a）为奇函数，则y＝f（x）关于点（a,0）中心对称。

　　总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程

　　总结：x的系数一个为1，一个为-1，f（x）整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。

　　总结：x的系数同为为1，具有周期性。

　　（二）两个函数的图象对称性

　　1、yf（x）与yf（x）关于X轴对称。

　　证明：设yf（x）上任一点为（x1,y1）则y1f（x1），所以yf（x）经过点（x1,y1）

　　∵（x1,y1）与（x1,y1）关于X轴对称，∴y1f（x1）与yf（x）关于X轴对称.注：换种说法：yf（x）与yg（x）f（x）若满足f（x）g（x），即它们关于y0对称。

函数知识点总结2

　　1.二次函数的概念

　　二次函数的概念：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零.二次函数的定义域是全体实数。

　　2.二次函数的结构特征：

　　⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2。

　　⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。

　　2.初三数学二次函数的三种表达式

　　一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)。顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]。

　　交点式：y=a(x-x)(x-x)[仅限于与x轴有交点A(x，0)和B(x，0)的抛物线]。

　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax,x=(-b±√b^2-4ac)/2a。

　　3.二次函数的性质

　　1.性质：

　　(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。

　　(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

　　2.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。当b>0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点;当b<0时，直线必通过三、四象限。特别地，当b=o时，直线通过原点o(0，0)表示的'是正比例函数的图像。这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。

　　4.初三数学二次函数图像

　　对于一般式：①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称。

　　②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称。

　　③y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx+c-b2/2a关于顶点对称。

　　④y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点中心对称。(即绕原点旋转180度后得到的图形)

　　对于顶点式：

　　①y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k两图像关于y轴对称，即顶点(h,k)和(-h,k)关于y轴对称，横坐标相反、纵坐标相同。

　　②y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k两图像关于x轴对称，即顶点(h,k)和(h,-k)关于x轴对称，横坐标相同、纵坐标相反。

　　③y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2+k关于顶点对称，即顶点(h,k)和(h,k)相同，开口方向相反。

　　④y=a(x-h)2+k与y=-a(x+h)2-k关于原点对称，即顶点(h,k)和(-h,-k)关于原点对称，横坐标、纵坐标都相反。(其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况)

函数知识点总结3

　　一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式灵活，综合应用性强。甚至有存在探究题目出现。

　　主要考察内容：

　　①会画一次函数的图像，并掌握其性质。

　　②会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。

　　③能用一次函数解决实际问题。

　　④考察一ic函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。

　　突破方法：

　　①正确理解掌握一次函数的概念，图像和性质。

　　②运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。

　　③掌握用待定系数法球一次函数解析式。

　　④做一些综合题的训练，提高分析问题的能力。

　　函数性质：

　　1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k.即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0），∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。

　　2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。

　　3当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

　　4.在两个一次函数表达式中：

　　当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数图像性质

　　1、作法与图形：通过如下3个步骤：

　　（1）列表.

　　（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。一般的y=kx+b(k≠0）的.图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。

　　正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。（3）连线，可以作出一次函数的图象一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）.

　　2、性质：

　　（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

　　（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。

　　3、函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

　　4、k，b与函数图像所在象限：

　　y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：

　　当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；当k>0,b

函数知识点总结4

　　I.定义与定义表达式

　　一般地，自变量_和因变量y之间存在如下关系：y=a_^2+b_+c

　　(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为_的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　II.二次函数的三种表达式

　　一般式：y=a_^2+b_+c(a，b，c为常数，a≠0)

　　顶点式：y=a(_-h)^2+k[抛物线的.顶点P(h，k)]

　　交点式：y=a(_-_?)(_-_?)[仅限于与_轴有交点A(_?，0)和B(_?，0)的抛物线]

　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

　　h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a

　　III.二次函数的图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=_^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

　　IV.抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线_=-b/2a。

　　对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线_=0)

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在_轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;

　　当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于(0，c)

　　6.抛物线与_轴交点个数

　　Δ=b^2-4ac>0时，抛物线与_轴有2个交点。

　　Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与_轴有1个交点。

　　Δ=b^2-4ac<0时，抛物线与_轴没有交点。

　　_的取值是虚数(_=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

　　V.二次函数与一元二次方程

　　特别地，二次函数(以下称函数)y=a_^2+b_+c，

　　当y=0时，二次函数为关于_的一元二次方程(以下称方程)，即a_^2+b_+c=0

　　此时，函数图像与_轴有无交点即方程有无实数根。函数与_轴交点的横坐标即为方程的根。

函数知识点总结5

　　基本概念

　　1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

　　2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

　　*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。（x的取值范围）一次函数

　　1.．自变量x和因变量y有如下关系：

　　y=kx+b（k为任意不为零实数，b为任意实数）则此时称y是x的一次函数。特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx（k为任意不为零实数）

　　定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际有意义。2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。一次函数性质：

　　1在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

　　2一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。

　　特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。4、特殊位置关系

　　当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等

　　当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

　　应用

　　一次函数y=kx+b的性质是：（1）当k>0时，y随x的增大而增大；（2）当ky2，则x1与x2的大小关系是（）

　　A.x1>x2B.x10，且y1>y2。根据一次函数的.性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。

　　判断函数图象的位置例3.一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

　　解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k

　　（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。5、函数的图像

　　一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

　　6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。7、描点法画函数图形的一般步骤

　　第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

　　第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。8、函数的表示方法

　　列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

　　解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

　　图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。9、正比例函数及性质

　　一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取零解析式：y=kx（k是常数，k≠0）必过点：（0，0）、（1，k）

　　走向：k>0时，图像经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；k0时，向上平移；当b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y随x的增大而增大；k0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b

　　.函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）

　　将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线；将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线.若直线yxa和直线yxb的交点坐标为(m,8),则ab____________.

　　已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（）Ａ．3m+1Ｂ．3mＣ．mＤ．3m－111、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），坐标或纵坐标为0的点.

　　b>0经过第一、二、三象限b0图象从左到右上升，y随x的增大而增大经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限k0时，向上平移；当b

　　（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b①

　　和y2=kx2+b②

　　（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。（4）最后得到一次函数的表达式。15、一元一次方程与一次函数的关系

　　任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

函数知识点总结6

　　一、知识导学

　　1.二次函数的概念、图像和性质.（1）注意解题中灵活运用二次函数的一般式二次函数的顶点式二次函数的坐标式

　　f(x)ax2bxcf(x)a(xm)2n(a0)和f(x)a(xx1)(xx2)(a0)

　　(a0)

　　（2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根的范围等）要充分利用好两种方法：配方、图像，很多二次函数都用数形结合的思想去解.

　　①

　　f(x)ax2bxc(a0)，当b24ac0时图像与x轴有两个交点.

　　M（x1,0）N(x2,0),|MN|=|x1-x2|=

　　.|a|②二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得.2.指数函数

　　①amyax(a0,a1)和对数函数ylogax(a0,a1)的概念和性质.

　　（1）有理指数幂的意义、幂的运算法则：

　　anamn；②(am)namn；③(ab)nanbn（这时m,n是有理数）

　　MlogaMlogaNNlogcb1MlogaM；logab

　　nlogcaloga对数的概念及其运算性质、换底公式.

　　loga(MN)logaMlogaN;logaMnnlogaM;logan（2）指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点.

　　①指数函数图像永远在x轴上方，当a＞1时，图像越接近y轴，底数a越大；当0错解：∵18

　　5,∴log185b

　　log1845log185log189ba∴log3645log1836log184log189log184a5,∴log185b

　　log1845log185log189∴log3645log1836log184log189bb错因：因对性质不熟而导致题目没解完.正解：∵18

　　bababa

　　182182alog18()a2log18()a992[例2]分析方程f(x)axbxc0（a0）的两个根都大于1的充要条件.

　　2错解：由于方程f(x)axbxc0（a0）对应的二次函数为

　　f(x)ax2bxc的图像与x轴交点的横坐标都大于1即可.

　　f(1)0f(1)0故需满足b，所以充要条件是b

　　112a2a错因：上述解法中，只考虑到二次函数与x轴交点坐标要大于1，却忽视了最基本的的前题条件，应让二次函数图像与x轴有

　　交点才行，即满足△≥0，故上述解法得到的不是充要条件，而是必要不充分条件.

　　f(1)0b正解：充要条件是12a2b4ac0y36x126x5的单调区间.

　　x2xx错解：令6t，则y361265＝t12t5

　　[例3]求函数

　　∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数∴函数

　　y36x126x5的单调递减区间是(,6]，单调递增区间为[6,)

　　x错因：本题为复合函数，该解法未考虑中间变量的取值范围.正解：令6∴函数

　　t，则t6x为增函数，y36x126x5＝t212t5＝(t6)241

　　∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数

　　y36x126x5的单调递减区间是(,1]，单调递增区间为[1,)

　　[例4]已知yloga(2ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是错解：∵yloga(2ax)是由ylogau，u2ax复合而成，又a＞0∴u2ax在[0，1]上是x的减函数，由复合函数关系知，ylogau应为增函数，∴a＞1

　　错因：错因：解题中虽然考虑了对数函数与一次函数复合关系，却忽视了数定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在[0，1]上有意义.

　　yloga(2ax)是由ylogau，u2ax复合而成，又a＞0∴u2ax在[0，1]上是x的减函数，

　　由复合函数关系知，ylogau应为增函数，∴a＞1

　　又由于x在[0，1]上时yloga(2ax)有意义，u2ax又是减函数，∴x＝1时，u2ax取最小值是

　　正解：∵

　　umin2a＞0即可，∴a＜2，综上可知所求的取值范围是1＜a＜2[例5]已知函数f(x)loga(3ax).

　　（1）当x[0,2]时f(x)恒有意义，求实数a的取值范围.

　　（2）是否存在这样的实数a使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为

　　存在，请说明理由.分析：函数

　　1，如果存在，试求出a的值；如果不

　　f(x)为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一

　　0,a1

　　般先假设存在后再证明.

　　解：（1）由假设，3ax＞0，对一切x[0,2]恒成立，a显然，函数g(x)=3ax在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a＞0得到a＜(2)假设存在这样的实数a，由题设知∴a＝

　　32∴a的取值范围是（0，1）∪（1，

　　32）

　　f(1)1，即f(1)loga(3a)＝1

　　32此时

　　f(x)loga(33x)当x2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在.2，

　　12x4xa[例6]已知函数f(x)=lg,其中a为常数，若当x∈(－∞,1］时,f(x)有意义，求实数a的.取值范围.

　　a2a1xx3111xx解：124a>0,且a－a+1=(a－)+>0,∴1+2+4a>0,a>(11),当x∈(－∞,1]时,y=x与y=x都

　　24424x2xa2a1333是减函数，∴y=(11)在(－∞,1]上是增函数，(11)max=－,∴a>－,故a的取值范围是(－,+∞).

　　4444x2x422

　　xx[例7]若(a1)解：∵幂函数

　　13(32a)1313，试求a的取值范围.

　　yx有两个单调区间，

　　∴根据a1和32a的正、负情况，有以下关系a10a1032a0.①32a0.②a132aa132a解三个不等式组：①得

　　a10.③32a023，

　　23＜a＜

　　32，②无解，③a＜－1，∴a的取值范围是（－∞，－1）∪（

　　32）

　　[例8]已知a>0且a≠1,f(logax)=

　　a1(x－

　　xa21)

　　(1)求f(x)；(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；

　　(3)对于f(x),当x∈(－1,1)时,有f(1－m)+f(1－m)<0,求m的集合M.

　　分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问.解：(1)令t=logax(t∈R)，则xat,f(t)aatt(aa),f(x)(axax),(xR).22a1a1aa(axax)f(x),且xR,f(x)为奇函数.当a1时,20,a1a1u(x)axax为增函数,当0a1时,类似可判断f(x)为增函数.综上,无论a1或0a1,f(x)在R上都是增函数.

　　(3)f(1m)f(1m2)0,f(x)是奇函数且在R上是增函数,f(1m)f(m21).又x(1,1)(2)f(x)211m11m2111m2.1mm21四、典型习题导练1.函数

　　f(x)axb的图像如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）A.a1,b0B.a1,b0C.0a1,b0D.0a1,b0

　　x的值为（）

　　yC.1或4C.2

　　2、已知2lg(x－2y)=lgx+lgy,则A.13、方程loga(x1)xA.04、函数f(x)与g(x)=(

　　2B.4B.1

　　D.4或8D.3

　　(）

　　2(0A.

　　0,nB.,0C.

　　0,2

　　2,0

　　5、图中曲线是幂函数y＝x在第一象限的图像，已知n可取±2，±

　　1四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为()211111111A.－2，－，，2B．2，，－，－2C.－，－2,2，D.2，，－2,－

　　2222226.求函数y=log2

　　2(x－5x+6)的定义域、值域、单调区间.7.若x满足2(log21x)14log4x30,求f(x)=logxx222log22最大值和最小值.

　　8.已知定义在R上的函数f(x)2xa2x,a为常数（1）如果f(x)＝f(x)，求a的值；

　　（2）当

　　f(x)满足（1）时，用单调性定义讨论f(x)的单调性.

　　基本初等函数综合训练B组

　　一、选择题

　　1．若函数

　　f(x)logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为()

　　A．214B．22C．4D．12

　　2．若函数yloga(xb)(a0,a1)的图象过两点(1,0)

　　和(0,1)，则()

　　A．a2,b2B．a2,b2

　　C．a2,b1D．a2,b23．已知f(x6)log2x，那么f(8)等于（）

　　A．43B．8C．18D．12

　　4．函数ylgx()

　　A．是偶函数，在区间(,0)上单调递增B．是偶函数，在区间(,0)上单调递减C．是奇函数，在区间(0,)上单调递增D．是奇函数，在区间(0,)上单调递减

　　5．已知函数f(x)lg1x1x.若f(a)b.则f(a)（）A．bB．bC．11bD．b

　　6．函数f(x)logax1在(0,1)上递减，那么f(x)在(1,)上（）

　　A．递增且无最大值B．递减且无最小值C．递增且有最大值D．递减且有最小值

　　二、填空题1．若

　　f(x)2x2xlga是奇函数，则实数a=_________。

　　2．函数

　　f(x)log1x22x5的值域是__________.

　　23．已知log147a,log145b,则用a,b表示log3528。4．设

　　A1,y,lgxy,B0,x,y,且AB，则x；y。5．计算：

　　322log325。

　　ex16．函数y的值域是__________.

　　xe1三、解答题

　　1．比较下列各组数值的大小：（1）1.7

　　2．解方程：（1）9

　　3．已知

　　4．已知函数

　　参考答案

　　一、选择题

　　x3.3和0.82.1；（2）3.30.7和3.40.8；（3）

　　3,log827,log9252231x27（2）6x4x9x

　　y4x32x3,当其值域为[1,7]时，求x的取值范围。

　　f(x)loga(aax)(a1)，求f(x)的定义域和值域；

　　1112321.Alogaa3loga(2a),loga(2a),a32a,a8a,a,a3842.Aloga(b1)0,且logab1,ab2

　　3.D令x4.B令令u68(x0),x82,f(8)f(x6)log2xlog2216f(x)lgx,f(x)lgxlgxf(x)，即为偶函数

　　x,x0时，u是x的减函数，即ylgx在区间(,0)上单调递减

　　1x1xlgf(x).则f(a)f(a)b.5.Bf(x)lg1x1x6．A令ux1，(0,1)是u的递减区间，即a1，(1,)是u的递增区间，即f(x)递增且无最大值。

　　二、填空题1．

　　1xxxxf(x)f(x)22lga22lga10x(lga1)(2（另法）：xR，由2.

　　2x)0,lga10,a110110f(x)f(x)得f(0)0，即lga10,a,2x22x5(x1)244,

　　而011,log1x22x5log1422222alog14283.log147log145log1435ab,log3528

　　ablog1435141log14log14(214)1log14271(1log147)2a

　　log1435log1435log1435log1435ab4.1,1∵0A,y又∵1B,y0,∴lg(xy)0,xy1

　　51,∴x1,而x1，∴x1,且y1

　　3215.

　　5322log32log32532log321515ex11y6.(1,1)y，ex0,1y1ex11y三、解答题1．解：（1）∵1.71.701,0.82.10.801，∴1.73.30.82.1

　　0.70.80.70.80.80.8（2）∵3.33.3,3.33.4，∴3.33.4（3）log827log23,log925log35,

　　3.333332log22log222log23,log332log333log35,223∴log925log827.

　　2x2xxxx2．解：（1）(3)63270,(33)(39)0,而330

　　3x90,3x32,

　　x22x4x22x2x（2）()()1,()()10

　　39332251()x0,则()x,332

　　xlog23512

　　3．解：由已知得14x32x37,

　　xxxx43237(21)(24)0,得x即

　　xxx43231(21)(22)0xx即021，或224∴x0，或1x2。

　　xx4．解：aa0,aa,x1，即定义域为(,1)；

　　ax0,0aaxa,loga(aax)1，即值域为(,1)。

　　扩展阅读：高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案)

　　〖2.2〗对数函数

　　【2.2.1】对数与对数运算

　　（1）对数的定义

　　①若axN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，

　　N叫做真数．

　　②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0)．

　　（2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logaabb．

　　N；自然对数：lnN，即loge（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10…）．e2.71828（4）对数的运算性质如果a0,a1,M①加法：logaN（其中

　　0,N0，那么

　　MlogaNloga(MN)

　　M②减法：logaMlogaNlogaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR)

　　④

　　alogaNN

　　nlogaM(b0,nR)bn⑤logabM⑥换底公式：logaNlogbN(b0,且b1)

　　logba【2.2.2】对数函数及其性质

　　（5）对数函数函数名称定义函数对数函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数a1yx10a1yx1ylogaxylogax图象O(1,0)O(1,0)xx定义域值域过定点奇偶性(0,)R图象过定点(1,0)，即当x1时，y0．非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数logax0(x1)函数值的变化情况logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近x轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近x轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴(6)反函数的概念

　　设函数果对于

　　yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如

　　y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子

　　x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯

　　上改写成

　　yf1(x)．

　　（7）反函数的求法

　　①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将xyf(x)中反解出xf1(y)；

　　f1(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域．

　　（8）反函数的性质

　　①原函数②函数

　　yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．

　　yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域．

　　yf(x)的图象上，则P"(b,a)在反函数yf1(x)的图象上．

　　③若P(a,b)在原函数④一般地，函数

　　yf(x)要有反函数则它必须为单调函数．

　　一、选择题：1．

　　log89的值是log23A．

　　（）

　　23B．1C．

　　32D．2

　　2．已知x=2+1,则log4(x3－x－6)等于

　　（）C.0

　　32B.

　　54123．已知lg2=a，lg3=b，则

　　lg12等于lg15（）

　　A．

　　2ab

　　1abB．

　　a2b

　　1abC．

　　2ab

　　1abD．

　　a2b

　　1ab4．已知2lg(x－2y)=lgx＋lgy，则x的值为

　　yA．1

　　B．4

　　（）C．1或4C．(C．ln5

　　D．4或-1（）

　　5.函数y=log1(2x1)的定义域为

　　2A．(

　　1，＋∞)B．［1，＋∞)2B．5e

　　1，1]2D．(－∞，1)（）D．log5e（）

　　y6.已知f(ex)=x，则f(5)等于

　　A．e5

　　7．若f(x)logax(a0且a1),且f1(2)1,则f(x)的图像是

　　yyyABCD

　　8．设集合A{x|x10},B{x|log2x0|},则AB等于

　　A．{x|x1}C．{x|x1}

　　B．{x|x0}D．{x|x1或x1}

　　2OxOxOxOx（）

　　9．函数ylnx1,x(1,)的反函数为（）x1ex1,x(0,)B．yxe1ex1,x(,0)D．yxe1ex1,x(0,)A．yxe1ex1,x(,0)C．yxe1二、填空题

函数知识点总结7

　　二次函数概念

　　一般地，把形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0)的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。

　　注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的.关系。

　　二次函数公式大全

　　二次函数

　　I.定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

　　则称y为x的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　II.二次函数的三种表达式

　　一般式：y=ax2;+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

　　顶点式：y=a(x-h)2;+k [抛物线的顶点P(h，k)]

　　交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线]

　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

　　h=-b/2a k=(4ac-b2;)/4a x1,x2=(-b±√b2;-4ac)/2a

　　III.二次函数的图象

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x??的图象，

　　可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。

　　IV.抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

　　x = -b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为

　　P [ -b/2a ，(4ac-b2;)/4a ]。

　　当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;

　　当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于(0，c)

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　Δ= b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　Δ= b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。

　　V.二次函数与一元二次方程

　　特别地，二次函数(以下称函数)y=ax2;+bx+c，

　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，

　　即ax2;+bx+c=0

　　此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。

　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

函数知识点总结8

　　反比例函数的表达式

　　X是自变量，Y是X的函数

　　y=k/x=k·1/x

　　xy=k

　　y=k·x^(-1)(即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方)

　　y=kx(k为常数且k≠0，x≠0)若y=k/nx此时比例系数为：k/n

　　函数式中自变量取值的范围

　　①k≠0；②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；③函数y的取值范围也是任意非零实数。　　解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数

　　y=k/x=k·1/x　　xy=k　　y=k·x^(-1)　　y=kx(k为常数(k≠0)，x不等于0)

　　反比例函数图象

　　反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。

　　反比例函数中k的几何意义是什么?有哪些应用

　　过反比例函数y=k/x(k≠0)，图像上一点P(x，y)，作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值*y的绝对值=(x*y)的绝对值=|k|

　　研究函数问题要透视函数的'本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。

　　所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。

函数知识点总结9

　　一次函数的图象与性质的口诀：

　　一次函数是直线，图象经过三象限;

　　正比例函数更简单，经过原点一直线;

　　两个系数k与b，作用之大莫小看，k是斜率定夹角，b与y轴来相见，k为正来右上斜，x增减y增减;

　　k为负来左下展，变化规律正相反;

　　k的绝对值越大，线离横轴就越远。

　　拓展阅读：一次函数的解题方法

　　理解一次函数和其它知识的联系

　　一次函数和代数式以及方程有着密不可分的联系。如一次函数和正比例函数仍然是函数，同时，等号的两边又都是代数式。需要注意的是，与一般代数式有很大区别。首先，一次函数和正比例函数都只能存在两个变量，而代数式可以是多个变量;其次，一次函数中的变量指数只能是1，而代数式中变量指数还可以是1以外的数。另外，一次函数解析式也可以理解为二元一次方程。

　　掌握一次函数的解析式的特征

　　一次函数解析式的结构特征：kx+b是关于x的一次二项式，其中常数b可以是任意实数，一次项系数k必须是非零数，k≠0，因为当k = 0时，y = b(b是常数)，由于没有一次项，这样的函数不是一次函数;而当b = 0，k≠0，y = kx既是正比例函数，也是一次函数。

　　应用一次函数解决实际问题

　　1、分清哪些是已知量，哪些是未知量，尤其要弄清哪两种量是相关联的量，且其中一种量因另一种量的变化而变化;

　　2、找出具有相关联的两种量的等量关系之后，明确哪种量是另一种量的函数;

　　3、在实际问题中，一般存在着三种量，如距离、时间、速度等等，在这三种量中，当且仅当其中一种量时间(或速度)不变时，距离与速度(或时间)才成正比例，也就是说，距离(s)是时间(t)或速度( )的正比例函数;

　　4、求一次函数与正比例函数的关系式，一般采取待定系数法。

　　数形结合

　　方程，不等式，不等式组，方程组我们都可以用一次函数的观点来理解。一元一次不等式实际上就看两条直线上下方的关系，求出端点后可以很容易把握解集，至于一元一次方程可以把左右两边看为两条直线来认识，直线交点的横坐标就是方程的解，至于二元一次方程组就是对应2条直线，方程组的解就是直线的交点，结合图形可以认识两直线的位置关系也可以把握交点个数。

　　如果一个交点时候两条直线的k不同，如果无穷个交点就是k，b都一样，如果平行无交点就是k相同，b不一样。至于函数平移的问题可以化归为对应点平移。k反正不变然后用待定系数法得到平移后的方程。这就是化一般为特殊的解题方法。

　　数学解题方法分别有哪些

　　1、配方法

　　所谓的公式是使用变换解析方程的同构方法，并将其中的一些分配给一个或多个多项式正整数幂的和形式。通过配方解决数学问题的.公式。其中，用的最多的是配成完全平方式。匹配方法是数学中不断变形的重要方法，其应用非常广泛，在分解，简化根，它通常用于求解方程，证明方程和不等式，找到函数的极值和解析表达式。

　　2、因式分解法

　　因式分解是将多项式转换为几个积分产品的乘积。分解是恒定变形的基础。除了引入中学教科书中介绍的公因子法，公式法，群体分解法，交叉乘法法等外，还有很多方法可以进行因式分解。还有一些项目，如拆除物品的使用，根分解，替换，未确定的系数等等。

　　3、换元法

　　替代方法是数学中一个非常重要和广泛使用的解决问题的方法。我们通常称未知或变元。用新的参数替换原始公式的一部分或重新构建原始公式可以更简单，更容易解决。

　　4、判别式法与韦达定理

　　一元二次方程 ax2+ bx+ c=0( a、 b、 c属于 R， a≠0)根的判别， = b2-4 ac，不仅用来确定根的性质，还作为一个问题解决方法，代数变形，求解方程(组)，求解不等式，研究函数，甚至几何以及三角函数都有非常广泛的应用。

　　韦达定理除了知道二次方程的根外，还找到另一根;考虑到两个数的和和乘积的简单应用并寻找这两个数，也可以找到根的对称函数并量化二次方程根的符号。求解对称方程并解决一些与二次曲线有关的问题等，具有非常广泛的应用。

　　5、待定系数法

　　在解决数学问题时，如果我们首先判断我们所寻找的结果具有一定的形式，其中包含某些未决的系数，然后根据问题的条件列出未确定系数的方程，最后找到未确定系数的值或这些待定系数之间的关系。为了解决数学问题，这种问题解决方法被称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

　　6、构造法

　　在解决问题时，我们通常通过分析条件和结论来使用这些方法来构建辅助元素。它可以是一个图表，一个方程(组)，一个方程，一个函数，一个等价的命题等，架起连接条件和结论的桥梁。为了解决这个问题，这种解决问题的数学方法，我们称之为构造方法。运用结构方法解决问题可以使代数，三角形，几何等数学知识相互渗透，有助于解决问题。

　　数学经常遇到的问题解答

　　1、要提高数学成绩首先要做什么?

　　这一点，是很多学生所关注的，要提高数学成绩，首先就应该从基础知识学起。不少同学觉得基础知识过于简单，看两遍基本上就都会了。这种“自我感觉良好”其实是一种错觉，而真正考试时又觉得无从下手，这还是基础不牢的表现，因此要提高数学成绩先要把基础夯实。

　　2、基础不好怎么学好数学?

　　对于基础差的同学来说，课本是就是学好数学的秘籍，把课本上的定义、公式、定理全部弄懂，力争在理解的基础上全部背熟，每一道例题、每一道课后题都要掌握。我们知道只有把公式、定理烂熟于心，才能举一反三、活学活用，把课本的知识学透有两个好处，第一，强化基础;第二，提高得分能力。

　　3、是否要采用题海战术?

　　方法君曾不止一次提到了“题海战术”，题海战术究竟可不可取呢?“题海战术”其实也是一种学习方法，但很多学生只知道做题，不懂得总结，体现不出任何的学习效果。因此在做题后要总结至关重要，只有认真总结才能不断积累做题经验，这样才能取得理想成绩。

　　4、做题总是粗心怎么办?

　　很多学生成绩不好，会说自己是因为粗心导致的，其实“粗心”只是借口，真正的原因就是题做得少、基础知识不牢、没有清晰的解题思路、计算能力不强。因此在平时的学习中，一定要注重熟练度和精准度的练习。如果总是给自己找“粗心”的借口，也就变相否定了自己的学习弱点，所以，要告诉自己，高中数学没有“粗心”只有“不用心”。

　　为什么要学习数学

　　作为一门普及度极广的学科，数学在人类文明的发展史上一直占据着重要的地位。虽然很多人可能会对数学产生排斥，认为它枯燥无味，但事实上，数学是所有学科的基石之一，对我们日常生活以及未来的职业发展有着重大影响。下面我将详细阐述学习数学的重要性。

　　首先，数学可以帮助我们提高逻辑思维能力。数学的学科性质使我们在学习的过程中时时刻刻面临着思考、推理、证明等诸多问题，而这些问题正是锻炼我们逻辑思维的好机会。通过长期的学习和练习，我们的思维能力得到提升，可以更加清晰地分析问题，更快速地找到正确的答案。这对我们在工作和生活中都非常有帮助，尤其是在解决复杂问题时更能得心应手。

　　其次，数学在现代科技中起着至关重要的作用。在计算机科学、物理学、经济学、工程学等领域，数学可以帮助我们建立模型、分析数据、预测趋势，并且可以在实际应用中优化和改进。例如，在人工智能领域，深度学习技术所涉及的数学概念包括线性代数、微积分和概率论等，如果没有深厚的数学基础，很难理解和应用这些技术。同时，在工程学领域，许多机械、电子、化工等产品的设计和制造过程，也需要运用到数学知识，因此学习数学可以使我们更好地参与到现代科技的发展中。

　　除此之外，数学也是一种普遍使用的语言，许多学科和领域都使用数学语言进行表达和交流。例如，在自然科学领域，生物学、化学、物理学等学科都使用数学语言来描述自然世界的规律和现象。在社会科学和商科领域，经济学和金融学运用的数学概念，如微积分、线性代数和统计学等，使得我们能够更好地理解经济和财务数据，并进行决策。因此，学习数学可以让我们更好地理解、沟通和交流各个领域的知识。

　　最后，学习数学也可以为我们的职业发展带来广泛的机遇和发展空间。在许多领域，数学专业的毕业生都有很广泛的就业机会，如金融界、数据科学、研究机构、教育等。数学专业的人才，不只会提供理论支持，同时也能够解决现实中具体的问题，使其在各自领域脱颖而出。

函数知识点总结10

　　本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等知识点。函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数的图象的基础，函数的图象是它们的综合。所以理解了前面的几个知识点，函数的图象就迎刃而解了。

　　一、函数的单调性

　　1、函数单调性的定义

　　2、函数单调性的判断和证明：

　　(1)定义法

　　(2)复合函数分析法

　　(3)导数证明法

　　(4)图象法

　　二、函数的奇偶性和周期性

　　1、函数的奇偶性和周期性的定义

　　2、函数的'奇偶性的判定和证明方法

　　3、函数的周期性的判定方法

　　三、函数的图象

　　1、函数图象的作法

　　(1)描点法

　　(2)图象变换法

　　2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。

　　常见考法

　　本节是段考和高考必不可少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。在解答题中，它可以和高中数学的每一章联合考查，多属于拔高题。多考查函数的单调性、最值和图象等。

　　误区提醒

　　1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。

　　2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。

　　3、在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接，只能用逗号隔开。

　　4、判断函数的奇偶性，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。

　　5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。

函数知识点总结11

　　一、函数

　　（1）定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，那么就说x是自变量，y是因变量，此时，也称y是x的函数。

　　（2）本质：一一对应关系或多一对应关系。

　　有序实数对平面直角坐标系上的点

　　（3）表示方法：解析法、列表法、图象法。

　　（4）自变量取值范围：

　　对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义；

　　对于纯数学问题，自变量取值必须保证函数关系式有意义：

　　①分式中，分母≠0；

　　②二次根式中，被开方数≥0；

　　③整式中，自变量取全体实数；

　　④混合运算式中，自变量取各解集的公共部份。

　　二、正比例函数与反比例函数

　　两函数的异同点

　　三、一次函数（图象为直线）

　　（1）定义式：y=kx+b（k、b为常数，k≠0）；自变量取全体实数。

　　（2）性质：

　　①k>0，过第一、三象限，y随x的'增大而增大；

　　k<0，过第二、四象限，y随x的增大而减小。

　　②b=0，图象过（0，0）；

　　b>0，图象与y轴的交点（0，b）在x轴上方；

　　b<0，图象与y轴的交点（0，b）在x轴下方。

　　四、二次函数（图象为抛物线）

　　（1）自变量取全体实数

　　一般式：y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），其中（0，c）为抛物线与y轴的交点；

　　顶点式：y=a（x—h）2+k（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为抛物线顶点；

　　h=—，k=零点式：y=a（x—x1）（x—x2）（a、x1、x2为常数，a≠0）其中（x1，0）、（x2，0）为抛物线与x轴的交点。x1、x2 =（b 2 —4ac ≥0）

　　（2）性质：

　　①对称轴：x=—或x=h；

　　②顶点：（—，）或（h，k）；

　　③最值：当x=—时，y有最大（小）值，为或当x=h时，y有最大（小）值，为k；

函数知识点总结12

　　三角和的公式

　　sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

　　cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

　　tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

　　倍角公式

　　tan2A = 2tanA/(1-tan2 A)

　　Sin2A=2SinA?CosA

　　Cos2A = Cos^2 A--Sin2 A =2Cos2 A-1 =1-2sin^2 A

　　三倍角公式

　　sin3A = 3sinA-4(sinA)3;

　　cos3A = 4(cosA)3 -3cosA

　　tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3-a)

　　三角函数特殊值

　　α=0° sinα=0 cosα=1 tαnα=0 cotα→∞ secα=1 cscα→∞

　　α=15°(π/12) sinα=(√6-√2)/4 cosα=(√6+√2)/4 tαnα=2-√3 cotα=2+√3 secα=√6-√2 cscα=√6+√2

　　α=22.5°(π/8) sinα=√(2-√2)/2 cosα=√(2+√2)/2 tαnα=√2-1 cotα=√2+1 secα=√(4-2√2) cscα=√(4+2√2)

　　a=30°(π/6) sinα=1/2 cosα=√3/2 tαnα=√3/3 cotα=√3 secα=2√3/3 cscα=2

　　α=45°(π/4) sinα=√2/2 cosα=√2/2 tαnα=1 cotα=1 secα=√2 cscα=√2

　　α=60°(π/3) sinα=√3/2 cosα=1/2 tαnα=√3 cotα=√3/3 secα=2 cscα=2√3/3

　　α=67.5°(3π/8) sinα=√(2+√2)/2 cosα=√(2-√2)/2 tαnα=√2+1 cotα=√2-1 secα=√(4+2√2) cscα=√(4-2√2)

　　α=75°(5π/12) sinα=(√6+√2)/4 cosα=(√6-√2)/4 tαnα=2+√3 cotα=2-√3 secα=√6+√2 cscα=√6-√2

　　α=90°(π/2) sinα=1 cosα=0 tαnα→∞ cotα=0 secα→∞ cscα=1

　　α=180°(π) sinα=0 cosα=-1 tαnα=0 cotα→∞ secα=-1 cscα→∞

　　α=270°(3π/2) sinα=-1 cosα=0 tαnα→∞ cotα=0 secα→∞ cscα=-1

　　α=360°(2π) sinα=0 cosα=1 tαnα=0 cotα→∞ secα=1 cscα→∞

　　三角函数记忆顺口溜

　　1三角函数记忆口诀

　　“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。

　　以cos(π/2+α)=-sinα为例，等式左边cos(π/2+α)中n=1，所以右边符号为sinα，把α看成锐角，所以π/2<(π/2+α)<π，y=cosx在区间(π/2，π)上小于零，所以右边符号为负，所以右边为-sinα。

　　2符号判断口诀

　　全,S,T,C,正。这五个字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”;第三象限内只有正切是“+”，其余全部是“-”;第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”。

　　也可以这样理解：一、二、三、四指的角所在象限。全正、正弦、正切、余弦指的'是对应象限三角函数为正值的名称。口诀中未提及的都是负值。

　　“ASTC”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“tan”、“cos”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。

　　3三角函数顺口溜

　　三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图像单位圆，周期奇偶增减现。

　　同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割;

　　中心记上数字一，连结顶点三角形。向下三角平方和，倒数关系是对角，

　　顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，

　　变成锐角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，

　　将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，

　　余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。

　　计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。

　　逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。

　　万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用;

　　一加余弦想余弦，一减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范;

　　三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围;

　　利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集。

函数知识点总结13

　　首先，把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上、因为每次考试占绝大部分的是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳，调整好自己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁情绪、特别是对自己要有信心，永远鼓励自己，除了自己，谁也不能把我打倒，要有自己不垮，谁也不能把我打垮的自豪感、

　　在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开，切忌考前在保证正确率的前提下提高解题速度、对于一些容易的基础题，要有十二分的把握拿满分;对于一些难题，也要尽量拿分，考试中要尝试得分，使自己的水平正常甚至超常发挥、

　　要想学好初中数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路、刚开始要以基础题目入手，以课上的题目为准，提高自己的分析解决能力，掌握一般的解题思路、对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路、正确的解题过程，两者一起比较找出自己的'错误所在，以便及时更正、在平时养成良好的解题习惯、让自己的精力高度集中，使大脑兴奋思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如、实践证明：越到关键的时候，你所表现的解题习惯与平时解题无异、如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的、

　　初中数学解题方法

　　第一点：卓绝点：熟悉数学习题中常设计的内容，定义、公式、原理等等

　　第二点：做题有步骤，先易后难

　　初中数学做题技巧有一点，那就是先易后难、正所谓“一屋不扫何以扫天下?”，如果同学们连那些简单容易的数学题目都解答不出来又怎么能够解答那些疑难的数学题目呢?先易后难的做数学题目不仅能够增加同学们做数学题的信心，还能够让同学享受解答数学题的那个过程、

　　第三点：认真做好归纳总结

函数知识点总结14

　　∴当x1时函数取得最大值，且ymax(1)2(1)13例4、已知函数f(x)x22(a1)x2

　　4]，求实数a的取值(1)若函数f(x)的递减区间是(，4]上是减函数，求实数a的取值范围(2)若函数f(x)在区间(，分析：二次函数的单调区间是由其开口方向及对称轴决定的，要分清函数在区间A上是单调函数及单调区间是A的区别与联系

　　解：（1）f(x)的对称轴是x可得函数图像开口向上

　　2(a1)21a，且二次项系数为1>0

　　1a]∴f(x)的单调减区间为(，∴依题设条件可得1a4，解得a3

　　4]上是减函数(2)∵f(x)在区间(，4]是递减区间(，1a]的子区间∴(，∴1a4，解得a3

　　例5、函数f(x)x2bx2，满足：f(3x)f(3x)

　　（1）求方程f(x)0的两根x1，x2的'和（2）比较f(1)、f(1)、f(4)的大小解：由f(3x)f(3x)知函数图像的对称轴为x(3x)(3x)23

　　b3可得b62f(x)x26x2(x3)211

　　而f(x)的图像与x轴交点(x1，0)、(x2，0)关于对称轴x3对称

　　x1x223，可得x1x26

　　第三章第32页由二次项系数为1>0，可知抛物线开口向上又134，132，431

　　∴依二次函数的对称性及单调性可f(4)f(1)f(1)（III）课后作业练习六

　　（Ⅳ）教学后记：

　　第三章第33页

　　扩展阅读：初中数学函数知识点归纳

　　学大教育

　　初中数学函数板块的知识点总结与归类学习方法

　　初中数学知识大纲中，函数知识占了很大的知识体系比例，学好了函数，掌握了函数的基本性质及其应用，真正精通了函数的每一个模块知识，会做每一类函数题型，就读于中考中数学成功了一大半，数学成绩自然上高峰，同时，函数的思想是学好其他理科类学科的基础。初中数学从性质上分，可以分为：一次函数、反比例函数、二次函数和锐角三角函数，下面介绍各类函数的定义、基本性质、函数图象及函数应用思维方式方法。

　　一、一次函数

　　1.定义：在定义中应注意的问题y＝kx＋b中，k、b为常数，且k≠0，x的指数一定为1。2.图象及其性质（1）形状、直线